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人工智能数学基础补习题(极限、无穷、导数、偏导数、梯度)

4109人阅读 2023/11/30 17:38 总访问：3223348 评论：0 收藏：0 手机

分类: python

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>#人工智能数学基础补习题(极限、无穷、导数、偏导数、梯度)
[TOC]

## SymPy 简单介绍

tn2>SymPy 是一个用于符号数学计算的 Python 库。符号数学计算是指在计算过程中保留符号表示，而不是进行数值逼近。SymPy 提供了一套丰富的功能，包括代数运算、微积分、方程求解、线性代数、解微分方程、级数展开、矩阵运算等计算。

### 常用的SymPy内置符号

tn2>自然对数的底e的表达方式。

```python
import sympy as sp
sp.E
```

>e

tn2>求对数函数

```python
sp.log(sp.E)
```

>1

tn2>无穷大极限的表达方式`oo`

```python
import sympy as sp
1/sp.oo
```

>0

tn2>圆周率 π 的表达方式

```python
sp.pi
```

tn2>对π的正弦函数

```python
sp.sin(sp.pi)
```

### 用SymPy进行初等运算

| 函数  | 描述  |
| ------------ | ------------ |
| `sympy.log`  | 求对数函数  |
| `sympy.sin`  | 正弦函数  |
| `sympy.sqrt`  | 求平方根函数  |
| `sympy.root`  | 求n次方根函数  |
| `sympy.factorial`  | 求阶乘函数  |

### 表达式与表达式求值

tn2>SymPy可以用一套符号系统来表示一个表达式，如函数、多项式等，并且可以进行求值。

```python
# 定义x为一个符号，表示一个变量
x = sp.Symbol('x')
fx = 2*x+1 # fx 是一个表达式
fx.evalf(subs={x:2}) # 用evalf函数，传入变量的值，对表达式进行求值
```

>5.0

```python
x,y = sp.symbols('x y')
fx = 2*x+y
fx.evalf(subs={x:1,y:2}) # 以字典的形式传入多个变量的值
# 如果只传入一个变量的值，则输出原来的表达式的值
```

>4.0

```python
fx.evalf(subs={x:1})
```

>y+2.0

### 求极限用sympy.limit函数

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}$$

```python
import sympy
from sympy import oo # 无穷是两个小写oo
import numpy as np
x=sympy.Symbol('x')
f=sympy.sin(x)/x
r=sympy.limit(f,x,oo)
r
```

>0

$$\lim_{x\to 1}\frac{\ x^2-1}{x-1}$$

```python
import sympy
from sympy import oo
import numpy as np
x=sympy.Symbol('x')
f=(x**2-1)/(x-1)
r=sympy.limit(f,x,1)
r
```

>2

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{3x-x^3}$$

```python
import sympy
from sympy import oo
import numpy as np
x=sympy.Symbol('x')
f=sympy.sin(x)/((3*x)+(x**3))
r=sympy.limit(f,x,0)
r
```

>$$\frac{1}\{3}$$

### 求导sympy.diff函数

tn2>求导的目的是找到一个函数在某一点的变化率，也就是函数在这一点的瞬时斜率。(单个因素)
求出下列函数的导数：

$$y=\arcsin \sqrt{\sin x}$$

```python
from sympy import *
from sympy.abc import x,y,z,f
# diff求导函数，arcsin数学函数表示形式为asin
diff(asin(sqrt(sin(x))))
```

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tn2>偏导数的目的是了解一个多变量函数在某个特定方向上的变化率。(多个因素)
求出下列表达式在点(1,2)处的偏导数。

$$f(x, y)=x^2+3xy+y^2$$

tn2>先获取x和y的偏导公式，再进行带入。

```python
from sympy import *
from sympy.abc import x,y,z,f

f=x**2+3*x*y+y**2
# 求对于x的导数
fx=diff(f,x)
fx
```

>2x+3y

```python
# 求对于y的导数
fy=diff(f,y)
fy
```

>3x+2y

```python
# 求在点(1,2)时，x的偏导数
fx.evalf(subs={x:1,y:2})
```

>8.0

```python
# 求在点(1,2)时，y的偏导数
fy.evalf(subs={x:1,y:2})
```

>7.0

### 方向导数

tn2>在偏导数之上确定了沿生的方向。
梯度向量：包含了函数在该点对每个变量的偏导数(x,y,z)。
方向导数=?f(梯度向量)*v(方向向量)

### 梯度下降

tn2>梯度就是方向导数取最大值，就是下坡最近的一种方式。
实现下列梯度下降求解下面函数的最小值

$$min f(x)=x-y+2x^2+2xy+y^2$$

tn2>通过对x和y的偏导得知公式为

$$\frac{\partial f}{\partial x}=4*x+2*y+1$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=-1+2*x+2*y$$

tn>再此之前请确保安装了`ipympl`包。

```python
!pip install ipympl
%matplotlib widget
```

```python
# 开启colab渲染，如果不是使用的google colab没有必要
from google.colab import output
output.enable_custom_widget_manager()
```

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定义梯度函数
def Fun(x,y):
  return x - y + 2 * x * x + 2 * x * y + y * y

# 求偏导x
def PxFun(x,y):
  return 1 + 4 * x + 2 * y

# 求偏导y
def PyFun(x,y):
  return -1 + 2 * x + 2 * y

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

# 取样并作满射联合
X,Y = np.mgrid[-2:2:40j, -2:2:40j]
# 取样并作满射联合
Z = Fun(X,Y)
# X,Y,Z  指定行和列 表面图上色
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis', edgecolor='none')

# 取样并作满射联合
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
# 梯度下降
# 取步长
step = 0.0008
x = 0
y = 0
tag_x = [x]
tag_y = [y]
tag_z = [Fun(x,y)] # 3个坐标分别打入表中，该表用于绘制点
new_x = x
new_y = y
Over = False
while Over == False:
  # 获取偏导并乘以阿尔法下降速度
  new_x -= step * PxFun(x,y)
  new_y -= step * PyFun(x,y)
  if Fun(x,y) - Fun(new_x,new_y) < 7e-9:
    Over = True
  x = new_x
  y = new_y
  # 添加更新的点
  tag_x.append(x)
  tag_y.append(y)
  tag_z.append(Fun(x,y))

ax.plot(tag_x,tag_y,tag_z,'r')
plt.title('(x,y)-('+str(x)+','+str(y)+')')
plt.show()
```

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tn2>这里小于`7e-9`保证精度够小。

```python
# 输出最小的x,y,z
x,y,Fun(x,y)
```

>(-0.9979655105730022, 1.4967081269573648, -1.2499942798392145)

## NumPy库简单介绍

tn2>NumPy（Numerical Python的缩写）是Python中用于科学计算的核心库之一。它提供了一个强大的多维数组对象（numpy.array）和用于处理这些数组的各种函数。NumPy是很多其他科学计算库的基础，包括Pandas、SciPy、Matplotlib等。

### 数组的操作

```python
import numpy as np
a = np.array([1,2,3]) # 创建一个rank的数组
print(a[0],a[1],a[2])
```

>1 2 3

```python
b = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(b[0,0],b[0,1],b[0,2])
```

>1 2 3

tn2>在绘制三维图表时，需要用到NumPy中的mgrid函数。 它会返回一个密集的多维网格，一般形式为`np.mgrid[start:end:step]`
`start`:开始值
`end`：结束坐标
`step`：表示步数

```python
np.mgrid[-1:4:2]
```

>array([-1,  1,  3])

```python
np.mgrid[-1:4:2,-3:1:1]
```

![](https://img.tnblog.net/arcimg/hb/f20f80735a374236939f35dff6dc8269.png)

## SciPy库简单介绍

tn2>SciPy是建立在NumPy基础上的一个开源科学计算库，提供了许多在科学和工程中常用的高级数学、信号处理、优化、统计等算法和工具。

### 使用SciPy求导

tn2>使用`scipy.misc`模块下的`derivative`函数。
求f(x)在x0处的导数即f`(x0)

```python
import numpy as np
from scipy.misc import derivative

def f(x): # 定义函数
  return x**5

print(derivative(f, 2, dx=1e-6)) # 对函数在x=2处求导
```

>80.00000000230045

tn>`dx`参数表示用于计算数值导数的微小变化量

tn2>使用`polyld()`函数构造`f(x)`，`polyld`函数的形参是多项式的系数，最左侧的是最高次数的系数，构造的函数为多项式。
Numpy的`polylder`函数和`deriv`函数的作用差不多，都是对多项式求导，可以得到函数导数的表达式和在某点的导数。
对下面的多项式进行求导

$$x^5+2x^4+3x^2+5$$

![](https://img.tnblog.net/arcimg/hb/a40a3eb3b5c3460191629e0d486d0a64.png)

```python
# 对多项式x^5 + 2x^4 + 3x^2 + 5求导
import numpy as np
p = np.poly1d([1,2,0,3,0,5]) # 通过系数构造多项式
print(p)
```

>   5     4     2
1 x + 2 x + 3 x + 5

```python
print(np.polyder(p,1)) # 求一阶导数
```

>   4     3
5 x + 8 x + 6 x

```python
print(np.polyder(p,1)(1.0)) # 求一阶导数在点x=1处的值
```

>19.0

```python
print(p.deriv(1)) # 求一阶导数
```

>   4     3
5 x + 8 x + 6 x

```python
print(p.deriv(1)(1.0)) # 求一阶导数在点x=1处的值
```

>19.0

## 练习

tn2>求下列极限

$$\lim_{x\to 1}\sin (ln x)$$

```python
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
fx = sp.sin(sp.ln(x))
sp.limit(fx,x,1)
```

>0

$$\lim_{x\to 8}\frac{ 2^{1/3} - 2} {x-8}$$


```python
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
fx = (x**(1/3)-2)/(x-8)
sp.limit(fx,x,8)
```

>$$\frac{1} {12}$$ 

tn2>求下列导数

$$y=x^4-2x^3+5sinx+ln3$$

```python
import sympy as sp

x,y = sp.symbols('x y')
y = x**4-2*x**3+5*sp.sin(x)+sp.ln(3)
sp.diff(y,x)
```

已知 $$z=(3x^2+y^2)^{4x+2y}$$，求在点(1,2)处的偏导数，并使用python编程（提示：复合函数求导，设$$u=3x^2+y^2$$ 、 $$v=4x+2y$$）

```python
import sympy as sp

z,x,y = sp.symbols('z x y')
z = (3*x**2+y**2)**(4*x+2*y)
# 对x求偏导
fx = sp.diff(z,x)
fy = sp.diff(z,y)
result_at_point = {
    'dz/dx': fx.evalf(subs={x:1,y:2}),
    'dz/dy': fy.evalf(subs={x:1,y:2})
}

print("在点 (1, 2) 处的偏导数：", result_at_point)
```

>在点 (1, 2) 处的偏导数： {'dz/dx': 84401203.0927369, 'dz/dy': 48788945.5463684}

求函数 $$z=x^2+y^2$$ 在点`(1,2)`处沿点`(1,2)`到点$$(2,2+3^{1/2})$$方向的方向导数，以及在点(1,2)的梯度。

```python
import sympy as sp

z,x,y = sp.symbols('z x y')
z = x**2+y**2
# 对x求偏导
fx = sp.diff(z,x)
fy = sp.diff(z,y)

# 定义点 (1, 2)
point_1_2 = sp.Point(1, 2)

# 定义点 (2, 2 + sqrt(3))
point_2_2_sqrt3 = sp.Point(2, 2 + sp.sqrt(3))

# 计算从点 (1, 2) 到点 (2, 2 + sqrt(3)) 的方向向量
direction_vector = point_2_2_sqrt3 - point_1_2

# 计算方向导数
directional_derivative = sp.diff(z, x) * direction_vector[0] + sp.diff(z, y) * direction_vector[1]

r1 =[fx.subs({x: 1, y: 2}),fy.subs({x: 1, y: 2})];

result_at_point = {
    '在点 (1, 2) 处的梯度': r1, # 使用subs也可以
    "从点 (1, 2) 沿着到点 (2, 2 + sqrt(3)) 的方向的方向导数：": directional_derivative
}

print("：", result_at_point)
```

>{
	'在点 (1, 2) 处的梯度': [2, 4],
	'从点 (1, 2) 沿着到点 (2, 2 + sqrt(3)) 的方向的方向导数：': 2*x + 2*sqrt(3)*y
}

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